Clase 10:
Reducción de dimensionalidad (PCA)
Analítica de Datos
Maestría en Ciencias del Comportamiento
Primavera 2026
Medimos ocho cosas de cada estudiante.
¿Se pueden resumir en una sola?
Datos reales de 4.424 estudiantes de educación superior: notas, materias inscriptas y aprobadas en dos semestres, nota de admisión y edad de ingreso.
Vamos a ver que la respuesta es sí, y que ese único número termina diciendo quién abandona.
De qué vamos a hablar hoy
Objetivo
Entender el análisis de componentes principales (PCA): qué hace, cómo se lee, cuánta información conserva y dónde conviene usarlo en Ciencias del Comportamiento.
- Por qué reducir. Muchas variables correlacionadas esconden pocas dimensiones.
- Qué es una componente. De la intuición en 2D al caso de $p$ variables.
- Leer el resultado. El biplot y cómo se interpretan sus flechas.
- Cuánta información conservamos. Reconstrucción, varianza explicada y scree plot.
- Decisiones y alcance. Estandarizar, métodos no lineales y casos aplicados.
- Supuestos y límites. Qué asume PCA y cuándo no corresponde.
Para la práctica vamos a
Colab.
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Por qué reducir
Cuando hay demasiadas variables para mirarlas.
Aprendizaje no supervisado: no hay qué predecir
- Hasta ahora tuvimos siempre una variable respuesta $Y$. Acá no la hay: solo un conjunto de features $X_1,\dots,X_p$.
- El objetivo cambia: ya no es predecir, es descubrir estructura en los datos.
- Por eso el análisis no supervisado casi siempre es parte de un análisis exploratorio.
- Y por eso mismo es más subjetivo: no hay una respuesta correcta contra la cual validar, ni test set que nos diga si acertamos.
ISLP, Sección 12.1.
Agrupar clientes que nadie etiquetó
Un caso cotidiano
Un sitio de compras online quiere recomendarle a cada persona lo que le interesa. Agrupa a sus clientes según su historial de navegación y compra, sin que nadie haya dicho de antemano a qué grupo pertenece cada uno.
- Nadie definió los grupos: emergen de los datos.
- Un buscador hace lo mismo con historiales de clics para decidir qué resultados mostrar.
- PCA ataca una versión de ese problema: cuando hay muchas variables correlacionadas, resumirlas en unas pocas que conserven casi toda la variabilidad.
Varias variables dicen casi lo mismo
Correlaciones del bloque académico. Las materias aprobadas en 1er y 2do semestre correlacionan 0,90: quien aprueba mucho en un semestre aprueba mucho en el otro. Hay redundancia para explotar.
Con 8 variables ya hay 28 gráficos posibles
- Para mirar las relaciones de a pares hacen falta $p(p-1)/2$ diagramas de dispersión.
- Con nuestras 8 variables son 28 gráficos. Con las 24 columnas numéricas del dataset, 276.
- Ninguno muestra la foto completa: cada uno contiene solo una fracción de la información.
La pregunta que abre PCA
¿Existe una representación de pocas dimensiones que capture la mayor parte posible de la variabilidad de los datos?
De 4.500 adjetivos a cinco factores
- En 1936, Allport y Odbert listaron 4.500 términos que describen diferencias de personalidad.
- Con análisis factorial (el pariente cercano de PCA), esos términos se redujeron primero a 16 y finalmente a cinco: el modelo Big Five (OCEAN).
- De Raad y Barelds (2008) aplicaron PCA a 2.365 ítems del léxico holandés y recuperaron el Big Five más tres factores adicionales.
El principio, en una línea
Con $p$ enorme, unas pocas dimensiones compuestas pueden resumir una variedad inmensa. Es exactamente lo que vamos a hacer hoy, en menor escala.
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Qué es una componente principal
De la intuición en dos dimensiones al caso general.
En 2D: la dirección de máxima varianza
Materias aprobadas en 1er y 2do semestre (estandarizadas). La recta negra es la primera componente: la dirección a lo largo de la cual los puntos varían más. Ella sola concentra el 95,2% de la variabilidad de las dos variables.
…y a la vez la recta más cercana a los puntos
Arrastrá el ángulo (o apretá "Girar"). Los segmentos rojos son los errores de proyección: cuando la recta llega a la primera componente, esos errores alcanzan su mínimo y, en ese mismo instante, las proyecciones quedan lo más dispersas posible.
Dos lecturas del mismo problema
Máxima varianza
La dirección a lo largo de la cual los datos proyectados tienen la mayor dispersión posible.
Mínima distancia
La recta que minimiza la suma de distancias al cuadrado entre cada punto y su proyección.
- Las dos definiciones llevan a la misma solución matemática.
- No es casualidad: la varianza total es fija, así que todo lo que la proyección captura es exactamente lo que el error deja de perder.
- Volvemos sobre esto en el Bloque 4, ya con números.
En 3D: dos componentes definen un plano
Arrastrá para rotar, hacé zoom con la rueda. Las dos primeras componentes generan el plano que mejor se apoya sobre la nube de tres variables académicas.
Una componente es una combinación lineal
Cada componente es una variable nueva, construida ponderando las originales:
Los loadings describen variables; los scores describen observaciones. Es la distinción que hace legible un biplot.
Por qué los pesos se normalizan
- Se exige que la suma de los cuadrados de los pesos sea igual a 1.
- Sin esa restricción el problema no tendría solución: agrandando los pesos, la varianza crecería sin límite.
- Normalizar obliga a buscar una dirección en el espacio de las variables, no una magnitud arbitraria.
Cómo se calcula en la práctica
Los pesos salen de la descomposición en autovectores y autovalores de la matriz de covarianzas (o de correlaciones, si estandarizamos). Cada componente es un autovector; la varianza que explica es su autovalor. No hace falta resolverlo a mano: lo hace la función de PCA.
Cada componente es ortogonal a las anteriores
- La segunda componente se busca igual que la primera, maximizando varianza, pero con una condición extra: ser ortogonal (no correlacionada) con la primera.
- Lo mismo para la tercera respecto de las dos anteriores, y así sucesivamente.
- Cada una captura información nueva, no una repetición de la anterior.
- En total hay como máximo $\min(n-1,\,p)$ componentes. Con nuestras 8 variables, 8 componentes.
Usar todas las componentes no pierde nada: es solo rotar el sistema de coordenadas. La compresión aparece cuando nos quedamos con algunas.
El score de un estudiante, término a término
Aporte de cada variable al score en PC1 de un estudiante concreto: su valor estandarizado por el loading de esa variable. Las cuatro variables de materias explican casi todo el score; la nota de admisión y la edad, prácticamente nada.
Las componentes están definidas salvo el signo
Un detalle que confunde
Dos programas pueden devolver la misma componente con el signo invertido, y ambos son correctos.
- Un vector de pesos define una dirección, y una dirección se extiende hacia los dos lados.
- Dar vuelta el signo de los loadings y el de los scores a la vez deja todo igual.
- Lo que importa es la geometría relativa: qué variables van juntas y cuáles se oponen.
- En la práctica conviene orientar cada componente para que se lea bien, como hicimos al poner el éxito académico hacia la derecha.
A la notebook
Calcular un score a mano y comprobar que coincide con el del algoritmo.
También: rotar la recta y ver cómo cambia la varianza proyectada.
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Leer el resultado: el biplot
Observaciones y variables, en un mismo gráfico.
El biplot: scores y loadings a la vez
Se gradúaAbandonaSigue cursando
Los puntos son estudiantes (scores, coloreados por desenlace — clickeá la referencia para aislar un grupo) y las flechas son variables (loadings). Pasá el mouse por el gráfico para ver los controles de zoom y explorar la zona densa cerca del origen. Las dos primeras componentes resumen el 71,5% de la variabilidad de las ocho variables.
PC1 resultó un eje de riesgo académico
El hallazgo
PCA nunca vio la etiqueta de deserción. Aun así, la primera componente separa a quienes abandonan de quienes se gradúan.
- Score medio en PC1: +0,96 entre quienes se gradúan, −1,43 entre quienes desertan.
- PC1 sola explica el 54,2% de la variabilidad de las ocho variables.
- Las variables de materias son las que definen ese eje; la nota de admisión casi no participa.
Es el mismo tipo de lectura con la que el libro interpreta que la PC1 de USArrests mide criminalidad general.
Cómo se leen las flechas: dirección
- La dirección de una flecha dice qué mezcla de PC1 y PC2 representa a esa variable.
- Flecha casi horizontal: la variable carga sobre la primera componente. Casi vertical: sobre la segunda.
- Es lo que permite ponerle nombre sustantivo a cada eje.
En nuestro biplot
Las seis variables de cursada apuntan hacia la derecha, con pesos del mismo signo y magnitud parecida: por eso el eje horizontal se lee como rendimiento académico. La edad de ingreso y la nota de admisión viven sobre el eje vertical.
Ángulo y longitud: lo que agregan las flechas
Ángulo entre flechas
Aproxima la correlación entre las variables. Misma dirección: muy correlacionadas. Perpendiculares: sin correlación. Opuestas: correlación negativa.
Longitud de la flecha
Indica qué tan bien representada queda esa variable en el plano. Larga: el plano la captura bien. Corta: vive en las componentes que no estamos mirando.
- Las flechas de inscriptas 1S y 2S son casi paralelas, y su correlación real es alta: el gráfico no miente.
- La nota de admisión tiene la flecha más corta: sobre ella el biplot no autoriza ninguna lectura.
Nombrar las componentes: un caso de consumo
Lácteos locales (Apulia, Italia, 2022)
Un experimento de elección online con 543 encuestados sobre productos lácteos locales: calidad, sustentabilidad y disponibilidad.
- Aplicaron PCA a las respuestas y quedaron cuatro componentes, que nombraron según qué ítems cargaban fuerte en cada una: sensibilidad a la calidad, "lo local es mejor", "lo local es sustentable" y demanda de mayor disponibilidad.
- Después relacionaron esas dimensiones con variables sociodemográficas.
El flujo típico en Ciencias del Comportamiento: cuestionario con muchos ítems → PCA → nombrar cada componente → relacionarla con otras variables.
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Cuánta información conservamos
Reconstruir, medir el error y decidir cuántas componentes.
Reconstruir un dato desde sus componentes
Si los scores se armaron combinando las variables, se puede hacer el camino inverso:
Por qué importa
Con $M$ componentes, esta es la mejor aproximación posible en $M$ dimensiones. Ninguna otra combinación lineal reconstruye mejor. Eso es lo que hace de PCA una técnica de compresión, no un resumen más.
El error cae rápido: pocas componentes bastan
Error cuadrático medio al reconstruir las ocho variables de los 4.424 estudiantes. Con 1 componente es 0,46; con 4 baja a 0,07; con las 8 es exactamente cero: usar todas es solo rotar los ejes.
La varianza total se reparte entre las componentes
- Con variables estandarizadas, cada una aporta 1 unidad de varianza: la varianza total es exactamente $p$ (acá, 8).
- Cada componente explica una porción de ese total: su autovalor.
- La PVE de una componente es esa porción sobre el total. Sumando todas, siempre da 100%.
| Componente | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| PVE (%) | 54,2 | 17,3 | 12,3 | 9,5 | 3,1 | 2,1 | 1,1 | 0,4 |
| Acumulada (%) | 54,2 | 71,5 | 83,8 | 93,3 | 96,4 | 98,5 | 99,6 | 100 |
El scree plot y el criterio del codo
Se busca el codo: el punto donde cada componente adicional deja de aportar. Acá, 3 componentes llegan al 80% de la varianza y 4 superan el 90%.
La PVE es el $R^2$ de la aproximación
Un gancho con lo que ya saben
La proporción de varianza explicada por las primeras $M$ componentes se interpreta exactamente como el $R^2$ de la regresión lineal: qué fracción de la variabilidad total se logra explicar.
- Con 2 componentes explicamos el 71,5% de la variabilidad de las ocho variables.
- Por eso el biplot en dos dimensiones es una representación fiel del dataset completo.
- Y por eso retener componentes es quedarse con la señal y descartar, sobre todo, ruido.
Máxima varianza y mínimo error son lo mismo
- La varianza total de los datos se reparte en dos partes: lo que capturan las primeras $M$ componentes, más el error de reconstruirlos con esas $M$.
- Como la varianza total es un número fijo, subir una es bajar la otra.
La equivalencia, cerrada
Maximizar la varianza explicada por las primeras $M$ componentes es exactamente lo mismo que minimizar el error de reconstrucción.
Es la razón por la que las dos definiciones del Bloque 2, máxima varianza y mínima distancia, describen el mismo objeto.
Cuántas retener: no hay respuesta única
- No existe un criterio objetivo y universal. En análisis no supervisado, la decisión es en parte un juicio.
- Se mira el codo del scree plot, o se fija un umbral de varianza acumulada (80% o 90%).
- Regla práctica: si las primeras componentes no muestran nada interesante, las siguientes tampoco suelen hacerlo.
Cuando sí hay criterio objetivo
Si las componentes se usan como predictores de un modelo posterior, el número se elige como cualquier hiperparámetro: por validación cruzada.
A la notebook
Reconstruir un dato con 1, 2 y todas las componentes, y ver caer el error.
Ejercicio: cuántas componentes hacen falta para llegar al 90%.
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Decisiones prácticas y alcance
Estandarizar, métodos no lineales y casos aplicados.
¿Qué pasa si no estandarizamos?
Antes de mirar el resultado
Vamos a correr PCA sobre las ocho variables sin estandarizar. ¿Qué variable creen que va a dominar la primera componente, y por qué?
- La nota de admisión va de 0 a 200; las materias aprobadas, de 0 a 10.
- Sus varianzas: 210 frente a 9,6.
- Como PCA busca máxima varianza, sin estandarizar la escala de medición decide el resultado.
Sin escalar, una variable secuestra PC1
Pesos de PC1 sin escalar (izquierda) y escalando (derecha). Sin estandarizar, PC1 es casi solo la nota de admisión; estandarizando, reparte peso entre las materias y se vuelve interpretable. Salvo unidad común, se estandariza siempre.
Más allá de PCA: t-SNE y UMAP
Son los mismos estudiantes en los tres botones. PCA es lineal; al pasar a t-SNE o UMAP los mismos puntos se reacomodan y los grupos aparecen mucho más separados, porque preservan la vecindad local.
Lo que t-SNE y UMAP no garantizan
Tres cuidados
- No preservan distancias globales: la separación entre dos grupos lejanos en el dibujo no es interpretable.
- Dependen de hiperparámetros: cambiar la perplexity o el número de vecinos cambia el gráfico.
- Sus ejes no significan nada: no hay loadings que interpretar.
- No están en el capítulo 12 del libro: son un complemento moderno.
- Regla: usalos para descubrir grupos, nunca para medir distancias.
PC1 como índice: el Nivel Socioeconómico
Filmer y Pritchett (2001), Demography
Para estimar la riqueza del hogar sin datos de gasto, construyeron un índice a partir de indicadores de posesión de bienes del hogar, usando PCA para derivar los ponderadores.
- Los hogares se ordenan por su valor en PC1 y se agrupan en quintiles, de más pobre a más rico.
- Vyas y Kumaranayake (2006) es la guía metodológica de referencia sobre cómo construirlo e interpretarlo.
- Punto de discusión: casi todos estos trabajos usan solo PC1. Hay literatura que propone combinar varias componentes, porque PC1 suele explicar una parte modesta de la varianza.
32 medidas de comportamiento, seis dimensiones
Arguello y Crescenzi (2019)
Analizaron con PCA hasta 32 medidas de comportamiento por sesión (cantidad de búsquedas, clics, tiempos de permanencia, scrolls, movimientos del mouse) en estudios de búsqueda de información.
- Objetivo: entender qué fenómenos latentes capturan esas medidas, y cómo influyen en las percepciones posteriores (carga de trabajo, dificultad, engagement).
- Usaron la matriz de correlación y no la de covarianza, porque las medidas están en escalas muy distintas: es el mismo argumento del escalado que vimos recién.
- Para elegir cuántas componentes: autovalor mayor a 1, y que cada componente tenga al menos dos variables con pesos altos.
Del componente al modelo
- Aplicaron una rotación varimax: redistribuye los pesos para que cada variable cargue fuerte en una sola componente. Facilita nombrarlas, y es práctica estándar aplicada aunque el libro no la desarrolle.
- Así nombraron cada dimensión según qué medidas pesaban en ella, por ejemplo abandono de búsquedas o ritmo de interacción.
- Después usaron los scores de las componentes, en lugar de las 32 medidas originales, como predictores de un modelo de regresión.
El resultado
Seis componentes explicaron el 76% de la varianza de las medidas de comportamiento. El circuito completo: comportamiento crudo → dimensiones interpretables → efectos sobre lo que la gente percibe.
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Supuestos y límites
Qué asume PCA, y cuándo conviene desconfiar.
Qué asume PCA
- PCA se apoya en la matriz de covarianzas o correlaciones (de Pearson).
- Eso trae tres supuestos implícitos sobre las variables:
- que son continuas,
- que las relaciones entre ellas son lineales,
- que las distancias entre valores consecutivos son equiespaciadas.
- El tercero es el que más tensiona en Ciencias del Comportamiento: en una escala de acuerdo, ¿la distancia entre "en desacuerdo" y "neutral" es la misma que entre "neutral" y "de acuerdo"?
Escalas Likert: cuasi-continuas en la práctica
La práctica estándar en psicometría
Con escalas de 5 o más puntos (idealmente 7) y una distribución no muy asimétrica, se aplica PCA directamente, tratando la variable ordinal como si fuera continua.
- El sesgo que introduce suele ser chico y manejable.
- Así se analiza la enorme mayoría de los cuestionarios de personalidad, actitudes y clima laboral.
- Es exactamente lo que hicieron los estudios de Big Five que vimos al principio.
Conviene igual declarar la decisión al reportar: es un supuesto que se asume, no un detalle técnico invisible.
Qué conviene evitar
El límite claro
Aplicar PCA con correlaciones de Pearson a variables nominales, es decir, sin ningún orden: tipo de contrato, carrera, provincia.
- Si no hay orden, no hay nada que preservar: los números que codifican las categorías son etiquetas arbitrarias, y las correlaciones que se calculan sobre ellas no significan nada.
- El chequeo previo más útil sigue siendo el más simple: mirar la matriz de correlaciones. Si es casi diagonal, no hay redundancia que explotar y PCA no va a ayudar.
La práctica
Aplicar PCA + clustering sobre el dataset de rotación de personal que ya conocen, para descubrir perfiles latentes de empleados.
Los perfiles son hipótesis, no verdades
Clusters sobre los primeros scores, y su tasa de rotación. El clustering no es robusto: cambia con la estandarización, con cuántas componentes se retienen y con $k$. Conviene repetirlo con distintas opciones y quedarse con lo que persiste.